齒輪傳動作為應用最廣泛的機械傳動方法之一，在制造領域有著至關重要的作用。齒輪的制造精度對齒輪傳動的壽命與性能有著直接的影響，隨著對制造業提出的更高要求，齒輪傳動也朝著高精度、長壽命、高效率、低噪聲等方向發展。齒輪的制造誤差影響著傳動系統的傳動精度和平穩性，并有可能導致振動沖擊，影響傳動件壽命。因此，齒輪制造誤差的研究對齒輪傳動有著重要意義。目前，對齒輪制造誤差的表征可根據加工過程中嚙合關系及其變化規律進行如圖1所示的分類。
在齒輪制造誤差研究方面，國內外學者做了廣泛的研究。Li等建立了多體動力學模型，并通過對Solidworks 進行二次開發獲得了三維模型，最后用Adams進行了動力學仿真分析;任菲等在研究人字齒傳動特性時考慮了偏心誤差和齒廓誤差這兩種制造誤差;劉瑞弢等考慮了制造誤差、傳動誤差、嚙合剛度和嚙合阻尼對圓柱斜齒輪傳動精度的影響，并建立了其動力學模型;陳帥等考慮了偏心誤差對變雙曲圓弧齒線圓柱齒輪傳動精度的影響，并通過Adams進行了仿真。
在齒輪制造誤差的表征方面，國內外學者也做了系列相關的研究。劉繼勝等對齒輪加工中常見的誤差進行了分類，討論了誤差的主要來源，并給出了抵消誤差的方法;林超等分析了橢圓錐齒輪在增材制造的加工方式下，產生的齒面與齒距誤差的理論情況;戴劍青等關注了非圓齒輪制造誤差中的齒廓誤差，給出了新的齒廓算法與誤差表征圖;石照耀等利用Legendre正交多項式建立了齒面三維誤差的表征方法，并探究了其與齒面各項特征誤差之間的關系。
由前文可知，目前齒輪制造誤差的研究方法多為建立動態響應模型為基礎，輔以計算機仿真方法或數學模型方法進行驗證，但都無法將制造誤差引入到三維模型中進行計算機仿真;制造誤差的表征方面，還沒有形成成熟的考慮制造誤差的三維模型設計方法。為此，本文將基于 Python對三維設計軟件進行二次開發，建立了一種考慮制造誤差——徑向跳動誤差和齒距誤差的齒輪三維模型設計方法，并給出一系列誤差范圍，驗證方法的可行性。
一、齒廓參數化設計
本文選擇的齒廓為雙圓弧齒廓，雙圓弧齒廓是諧波減速器中柔輪最常用的齒廓之一，相較于傳統漸開線齒廓，在諧波減速器特殊的傳動原理中其具有“雙共軛”的優良性質，即同一時刻嚙合齒對間有兩個點同時接觸，傳動更平穩。雙圓弧齒廓又分為有公切線的雙圓弧齒廓和無公切線的雙圓弧齒廓，本文選擇的是有公切線齒廓，因其應用更為廣泛。
齒廓坐標系
有公切線的雙圓弧齒廓主要由AB段圓弧、BC段公切線和CD段圓弧組成，以齒根圓與單齒對稱軸的交點作為原點 O，其切線作為x軸，單齒齒廓的對稱線作為y軸，建立直角坐標系。具體齒形如圖2所示。
齒廓表達式
根據幾何關系、約束條件可得雙圓弧齒廓的圓弧圓心坐標：
其中，Xoa為上圓弧圓心Oa的橫坐標；Yoa為上圓弧圓心 Oa的縱坐標；xa為上圓弧圓心Oa到y軸的距離；ya為上圓弧圓心Oa到分度圓切線的距離；hf為齒根高。
其中，Xof為下圓弧圓心Of的橫坐標；Yoa為下圓弧圓心 Of的縱坐標；xf為下圓弧圓心Of到齒槽對稱軸的距離；yf為下圓弧圓心Of到分度圓切線的距離；S為齒厚。
根據上述圓心坐標與幾何關系可得齒廓各段分界點坐標：
其中，Xa為A點橫坐標；Ya為A點縱坐標；Ra為上圓弧半徑；ha為齒頂高。
其中，Xb為B點橫坐標；Yb為B點縱坐標；α為BC段傾角，即壓力角。
其中，Xc為C點橫坐標；Yc為C點縱坐標；hl為B、C兩點縱坐標之差。
其中，Xd為D點橫坐標；Yd為D點縱坐標。
以齒廓齒頂A點出為起點，以弧長s為參數分段表示圓弧AB、直線BC、圓弧CD段。
AB段圓弧表達式：
其中， s 為以A點為起點的弧長，取值范圍為 s∈(0,l1+l2+l3)；α1是直線OA的斜率角
；l1是弧長AB段的長度l1=Ra(α1-α)。
BC段直線表達式：
CD段圓弧直線表達式：
其中，s取值范圍為s∈(l1+l2，l1+l2+l3)。
二、基于NURBS曲線的齒廓擬合方法
為了便于之后的模型設計與二次開發，本文采用 NURBS曲線方法對雙圓弧齒廓進行了擬合，以避免雙圓弧齒廓參量過多以及數據存儲中截斷誤差導致的分界點處不連續的問題。
NURBS曲線
NURBS曲線，全稱為非均勻有理B樣條(Non-Uniform Rational B Spline，簡稱為NURBS)，是曲線、曲面設計領域的最重要的一種設計方法，是目前所有CAD軟件繪制樣條曲線、復雜曲面的最常用方法。
其定義為：
其中，ωi(0≤i≤b)為權函數；di(0≤i≤n)為控制點坐標；Ni,3(u)是一系列由節點矢量決定的基函數，需要有以下遞推關系式得到：
其中，u為節點變量。
三次NURBS曲線的矩陣表達形式
按照文獻中的標記方法，
并規定
由此可得到第i段曲線的矩陣表達形式為：
其中
其中mij(1≤i，j≤4)的取值方法可參考文獻。
三次NURBS曲線插值方法
NURBS曲線是通過控制點對曲線進行控制，而曲線一般不會過控制點，所以使用NURBS曲線插值的過程，就是通過已知點反求控制點di(i=0,1,...,n+2)的過程。控制點可通過三對角線性方程組求解：
其中線性方程系數矩陣元素與表達式可參考文獻。
三、制造誤差的表征
本文重點關注齒輪制造誤差為徑向跳動誤差和齒距誤差兩種。
徑向跳動誤差表征方法
齒輪的徑向跳動誤差根據齒輪精度標準ISO1328中的描述為：每個齒槽到齒輪測量基準軸線的最大徑向距離與最小距離之差。本文將徑向跳動誤差簡化為整體齒形相對于理論位置的變動量r。
齒距誤差表征方法
齒距誤差可以分為單個齒距誤差fpt、齒距累計誤差 Fpk和齒距累計總偏差Fp。齒距誤差根據齒輪精度標準 ISO1328中的描述如圖4所示。
本文將齒距誤差簡化為整體齒形對稱軸相對于測量初始的夾角與理論夾角的變動量p。
四、三維模型設計
基于Python的二次開發
本文通過Python對CAD軟件Solidworks進行二次開發實現三維模型設計，兩者的通信關系如圖6所示。
三維模型設計方法
在使用本文所設計的方法時，首先需在MATLAB中計算出齒廓的離散點，再根據三次NRTBS曲線插值算法計算出控制點坐標，通過Python將上述信息傳輸到三維設計軟件中，生成三維模型。模型設計流程如圖7所示。
五、測試驗證結果
本文通過給定不同的誤差范圍，設計出系列考慮制造誤差的三維模型，來驗證該方法的可行性。表1為試驗齒輪的基本參數。
圖8和圖9展示了單獨設置徑向跳動誤差和齒距誤差的實驗結果，每組實驗分別設置了八組不同的誤差范圍，由圖可知，隨著誤差范圍的增大，輪齒的誤差不斷增大，可見該方法表征誤差的有效性。
六、結語
1)本文在齒輪的三維模型設計中考慮了制造誤差，將簡化的徑向跳動誤差和齒距誤差加入到了雙圓弧齒廓齒輪的三維模型中，為齒輪傳動精度研究提供了新思路；
2)基于NURBS曲線插值方法，對齒廓進行了擬合，避免了雙圓弧齒廓多參數設計復雜，以及分界處因截斷誤差而不連續的問題；
3)利用Python腳本編程對三維仿真軟件進行了二次開發，實現了考慮制造誤差的三維模型參數化設計，并通過實驗驗證了該方法的可行性。
參考文獻略