弧齒錐齒輪具有噪聲小，傳動(dòng)效率高等優(yōu)點(diǎn)，廣泛用于航空航天、軍用飛機(jī)，船舶等大型工業(yè)設(shè)備中。齒輪的 5 種失效類型當(dāng)中，輪齒斷裂發(fā)生率最大，而裂紋輪齒發(fā)生斷裂的關(guān)鍵因素，它影響整個(gè)齒輪的可靠性和使用壽命。

　　杜國(guó)君等采用 ANSYS 有限元軟件對(duì) 20CrMnTi 直齒輪進(jìn)行不同滲碳濃度淬火數(shù)值分析，表明淬火后齒輪殘余應(yīng)力表現(xiàn)為“外壓內(nèi)拉”；高啟林等研究直齒錐齒輪在不同的淬火介質(zhì)下的溫度場(chǎng)于應(yīng)力場(chǎng)的變化規(guī)律;羅家元等研究淬火殘余應(yīng)力對(duì)鋁合金厚板裂紋擴(kuò)展的影響，表明淬火殘余壓應(yīng)力對(duì)裂紋擴(kuò)展起抑制作用;王延忠等采用 DEFORM 有限元軟件研究不同淬火溫度對(duì)輪齒殘余應(yīng)力、熱變形的影響規(guī)律;侯興隆采用 ABAQUS 有限元軟件對(duì) 9310 鋼直齒錐齒輪進(jìn)行淬火數(shù)值模擬，采用模具壓力加載方式等方法有效的控制齒輪整體變形量;劉雙等基于 ABAQUS 軟件研究不同初始裂紋長(zhǎng)度下直齒輪齒根裂紋擴(kuò)展特性;李強(qiáng)等通過 FRANC3D 軟件研究不同因素下弧齒錐齒輪裂紋擴(kuò)展規(guī)律，并求解應(yīng)力強(qiáng)度因子，表明弧齒錐齒輪裂紋擴(kuò)展以張開型為主，且當(dāng)齒頂載荷增大時(shí)，不會(huì)改變?cè)辛鸭y擴(kuò)展趨勢(shì);裴未遲等采用 ABAQUS 探究直齒圓柱齒輪的裂紋擴(kuò)展情況，并求解應(yīng)力強(qiáng)度因子;余洋等基于 XFEM 研究離心力對(duì)直齒輪裂紋擴(kuò)展路徑的影響規(guī)律;KATO 等研究殘余應(yīng)力對(duì)裂紋萌生和擴(kuò)展的影響;LEWICKI 等預(yù)測(cè)各種輪齒和輪輞的裂紋擴(kuò)展路徑，分析初始裂紋位置、裂紋長(zhǎng)度的影響規(guī)律。

　　在上述論述中，學(xué)者們主要聚焦于二維裂紋擴(kuò)展和圓柱齒輪齒根裂紋擴(kuò)展研究，對(duì)弧齒錐齒輪等復(fù)雜模型三維裂紋擴(kuò)展研究較少，且未考慮殘余應(yīng)力對(duì)齒輪裂紋擴(kuò)展的影響。因此，本文針對(duì)已有研究局限，以弧齒錐齒輪為研究對(duì)象，探究淬火殘余應(yīng)力對(duì)齒根裂紋擴(kuò)展的影響規(guī)律，揭示殘余應(yīng)力作用下弧齒錐齒輪裂紋擴(kuò)展機(jī)理。該研究成果為復(fù)雜模型三維裂紋擴(kuò)展研究提供一種新思路，為進(jìn)一步理解弧齒錐齒輪斷裂失效提供參考與依據(jù)。

　　一、輪齒斷裂有限元模型的建立

　　本文以弧齒錐齒輪為研究對(duì)象，由于 Abaqus 建立弧齒錐齒輪有限元模型和劃分網(wǎng)格有一定的難度，因此，使用 SolidWorks 建立弧齒錐齒輪三維實(shí)體有限元模型并將其保存為stp.格式，齒輪幾何參數(shù)如表 1 所示，將其導(dǎo)入 Hypermesh 中劃分網(wǎng)格，輪齒接觸部位的網(wǎng)格需細(xì)化，主動(dòng)輪網(wǎng)格較為密集，減少沙漏現(xiàn)象，即 ALLAE /ALLIE<1% ，以確保分析結(jié)果的精準(zhǔn)。

　　應(yīng)力分析及危險(xiǎn)位置確定：網(wǎng)格劃分完成之后，將 inp.文件導(dǎo)入 Abaqus 中施加如下邊界條件：

　　(1) 設(shè)置材料屬性：密度為 7850 kg /m³，彈性模量為 207 GPa，泊松比為 0.3，單元類型為 C3D8R。

　　(2) 在大小齒輪軸孔中心建立參考點(diǎn)，并與之內(nèi)表面相耦合。

　　(3) 分別約束大、小齒輪除繞軸旋轉(zhuǎn)以外的所有自由度。

　　(4) 大齒輪施加 2220 rmp，小齒輪施加 200 N/m 的負(fù)載力矩。

　　通過有限元求得小齒輪應(yīng)力云圖如圖 1 所示，在大齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，嚙合時(shí)小齒輪中間輪齒的齒根彎曲應(yīng)力與接觸力最大，由此可得，弧齒錐齒輪嚙合時(shí)，中間輪齒發(fā)生斷裂失效的概率高于其余輪齒，因此，以中間輪齒為研究對(duì)象，研究弧齒錐齒輪三維裂紋的擴(kuò)展機(jī)理。

　　裂紋擴(kuò)展分析：根據(jù)線彈性斷裂力學(xué)理論，裂紋擴(kuò)展有 2 種觀點(diǎn)，即能量守恒觀點(diǎn)與應(yīng)力強(qiáng)度因子觀點(diǎn);能量守恒觀點(diǎn)為裂紋擴(kuò)展斷裂的能量與裂紋新生面所需的能量相互平衡;應(yīng)力強(qiáng)度因子觀點(diǎn)為裂紋尖端應(yīng)力理論值為無窮大，故以應(yīng)力強(qiáng)度因子來表征裂紋尖端的彈性應(yīng)力場(chǎng)。首先，基于擴(kuò)展有限元法( XFEM) 探討裂紋擴(kuò)展路徑。XFEM 以中心分解法為基礎(chǔ)，在傳統(tǒng)擴(kuò)展有限元的基礎(chǔ)上引入富集函數(shù)，其位移表達(dá)式中引入了跳躍函數(shù)與漸近位移場(chǎng)函數(shù)，并以此來處理裂紋擴(kuò)展時(shí)單元界面不斷演化而引起的復(fù)雜的非連續(xù)位移問題，其位移近似函數(shù)表達(dá)式描述如下：

　　式中，I 為所有單元節(jié)點(diǎn)集合；n_c 為裂紋完全貫穿時(shí)所有單元節(jié)點(diǎn)集合；n_p 為裂紋尖端附近的所有單元節(jié)點(diǎn)集合；N_{i (x)} 為標(biāo)準(zhǔn)有限元單元形函數(shù)；u_i 為標(biāo)準(zhǔn)單元節(jié)點(diǎn)位移矢量；a_i 為裂紋完全貫穿時(shí)的位移矢量；b^j_i 為裂紋尖端的位移矢量;H(x) 為跳躍函數(shù)，表達(dá)裂紋尖端的間斷特性；φ^j_np為裂紋尖端漸近位移場(chǎng)分支函數(shù)，其表達(dá)式如下：

　　式中，

　　式中，r、θ 為裂紋尖端坐標(biāo)原點(diǎn)的極坐標(biāo)值。

　　裂紋擴(kuò)展可分為 3 個(gè)階段，分別為裂紋萌生階段，裂紋穩(wěn)定擴(kuò)展階段，裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展階段；基于上述應(yīng)力場(chǎng)的分析結(jié)果，以嚙合時(shí)小齒輪中間輪齒為研究對(duì)象，加載方式為單齒對(duì)嚙合時(shí)的最高點(diǎn)加載，如圖 2f 所示。本文設(shè)置如下 4 種工況研究裂紋擴(kuò)展：

　　通過加載上述工況進(jìn)行求解，圖 2a～圖 2d 為工況 4 的 4 個(gè)裂紋擴(kuò)展過程;可以看出，當(dāng)施加載荷時(shí)，裂紋先從齒根中部萌生，與應(yīng)力場(chǎng)的分析結(jié)果相符合，且裂紋先沿齒面方向擴(kuò)展，再沿深度方向擴(kuò)展，裂紋沿齒面擴(kuò)展速率大于裂紋沿深度擴(kuò)展速率。圖 2f～圖 2h 為前 3 種工況下的裂紋擴(kuò)展最終路徑;當(dāng)施加的載荷逐漸增大時(shí)，雖然裂紋擴(kuò)展軌跡變化較大，但裂紋萌生部位均為齒根中部，最終貫穿整個(gè)齒根，擴(kuò)展方向與工況 4 相同，區(qū)別在于，工況 1 的裂紋擴(kuò)展路徑較為平緩，從輪齒受拉一側(cè)向受壓一側(cè)緩慢擴(kuò)展，直至斷裂失效；工況 2、3 的裂紋擴(kuò)展路徑較工況 1 相比，均先沿輪齒受壓一側(cè)擴(kuò)展，再逐漸沿輪緣方向擴(kuò)展，且工況 3 的擴(kuò)展幅度大于工況 2，工況 4 的擴(kuò)展幅度最大，最后斷裂失效。

　　二、殘余應(yīng)力對(duì)齒根裂紋擴(kuò)展的影響

　　弧齒錐齒輪淬火數(shù)值模擬：弧齒錐齒輪淬火過程屬于復(fù)雜的非線性過程，包括多種耦合關(guān)系；淬火過程中，不同材料的齒輪與不同的淬火介質(zhì)實(shí)現(xiàn)熱交換的過程是非線性的，因此，只考慮溫度對(duì)齒輪的影響。本文所采用齒輪材料為 20CrMnTi，淬火方式為分級(jí)淬火，即將初始溫度為 850 ℃的齒輪放入淬火油中冷卻至 80 ℃，然后在空氣中冷卻至 25 ℃。20CrMnTi 齒輪的彈性模量、比熱容、淬火介質(zhì)等塑性屬性參數(shù)取自文獻(xiàn)。20CrMnTi 平面應(yīng)變斷裂韌性為 128 MPa·m^1/2 。在 ABAQUS 中采用順序熱力耦合進(jìn)行模擬，齒輪 2 個(gè)截面采用對(duì)稱約束邊界條件，其余面為對(duì)流面，將對(duì)流換熱系數(shù)作為熱邊界條件施加在對(duì)流面，分析步時(shí)間為 500 s，油淬時(shí)間 200 s，空氣中冷卻 300 s，齒輪淬火模型及邊界條件的施加如圖 3a 所示，圖中 A、B、C 分別代表齒頂、齒根以及齒芯部位。

　　輪齒在淬火介質(zhì)中的各點(diǎn)冷卻曲線如圖 3b 所示，從中可以看出，3 個(gè)特征點(diǎn)的冷卻曲線各不相同，齒根與齒頂冷卻速率大于內(nèi)部的冷卻速率;油淬階段冷卻至 200 s 時(shí)結(jié)束，最低溫度位于齒頂部位，且曲線變化較陡，空冷階段冷卻速度較為平緩，在 300 s 時(shí)冷卻至 30 ℃，最高溫度位于齒心;在淬火冷卻初期，輪齒各個(gè)位置急速冷卻，且齒頂部位的冷卻速度大于齒根和齒心部位，在4 s 時(shí)，齒頂溫度達(dá)到310 ℃，而齒根與齒心較為接近，達(dá)到 365 ℃，伴隨著冷卻的繼續(xù)進(jìn)行，三者冷卻速度更為接近，逐漸到達(dá) 80 ℃。

　　圖 3c 為特征點(diǎn) B 沿 x、y、z 方向的應(yīng)力變化曲線。從中可知，淬火冷卻初期，因輪齒齒根及齒面的冷卻速率高于內(nèi)部，齒面向內(nèi)收縮，受到拉應(yīng)力作用，隨著表面冷卻速率的下降，芯部與表面相反;輪齒齒根表面產(chǎn)生拉應(yīng)力時(shí)，單向拉應(yīng)力最高達(dá)到 335 MPa，而后下降轉(zhuǎn)變?yōu)閴簯?yīng)力，最大單向壓應(yīng)力達(dá)到 413 MPa，隨著冷卻曲線上升且在 100 s 左右達(dá)到平穩(wěn)，此時(shí)，齒根表面殘余壓應(yīng)力最大值為 239 MPa，最小值為 78 MPa，齒根表面應(yīng)力表現(xiàn)為“先拉后壓”。

　　圖 3d 為特征點(diǎn) C 沿 x、y、z 方向的應(yīng)力變化曲線。齒心應(yīng)力變化與齒根相反，淬火起始時(shí)，內(nèi)部因阻礙表層組織向內(nèi)收縮而產(chǎn)生壓應(yīng)力，之后，輪齒表面冷卻速率下降，而芯部的冷卻速率高于表面，此時(shí)，內(nèi)部收到拉應(yīng)力。齒芯產(chǎn)生壓應(yīng)力時(shí)，單向壓應(yīng)力最高達(dá)到 408 MPa，而后曲線上升轉(zhuǎn)變?yōu)槔瓚?yīng)力時(shí)，拉應(yīng)力最大為 430 MPa，隨著冷卻曲線下降，在 100 s 左右時(shí)達(dá)到穩(wěn)定值，單向拉應(yīng)力最大值為 269 MPa，最小值為 192 MPa，齒芯應(yīng)力表現(xiàn)為“先壓后拉”。

　　應(yīng)力強(qiáng)度因子的求解：應(yīng)力強(qiáng)度因子(SIF) 是反映彈性體裂紋尖端的應(yīng)力場(chǎng)強(qiáng)度的物理量，是評(píng)價(jià)裂紋擴(kuò)展的重要指標(biāo)，其有 3 種類型：張開型 K1、滑開型 K2、撕開型 K3。在上文中利用 XFEM 研究了弧齒錐齒輪的裂紋擴(kuò)展，得到了裂紋擴(kuò)展路徑，可知裂紋由齒根中部萌生逐漸貫穿整個(gè)齒根，直至斷裂，因此，為更進(jìn)一步探究裂紋尖端的應(yīng)力場(chǎng)變化以及殘余應(yīng)力對(duì)齒根裂紋擴(kuò)展的影響，建立含初始裂紋模型，模型網(wǎng)格如圖 3a 所示，模型處理如下。

　　奇異單元的構(gòu)建：利用 ABAQUS 計(jì)算裂紋尖端應(yīng)力強(qiáng)度因子時(shí)，通常會(huì)將裂紋尖端附近區(qū)域采用奇異單元?jiǎng)澐帧Ｆ娈悊卧窃?ABAQUS 的 GUI 中構(gòu)建，因此，盡管裂紋尖端采用三角形單元?jiǎng)澐郑珹BAQUS 會(huì)通過自動(dòng)調(diào)整單元節(jié)點(diǎn)來完成奇異單元的構(gòu)建，但裂紋尖端的網(wǎng)格如果是從外部( Hypermesh 等) 導(dǎo)入的孤立網(wǎng)格，ABAQUS 會(huì)將其視為三角形網(wǎng)格，而非奇異等參單元，而圍線積分不能采用三角形單元計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子，因此，首先將需要求解的網(wǎng)格轉(zhuǎn)換為奇異單元。轉(zhuǎn)換方法為將 hypermesh 畫好的網(wǎng)格導(dǎo)出為 inp 格式，通過查找裂紋尖端的單元節(jié)點(diǎn)，將六面體網(wǎng)格被折疊的邊線上的節(jié)點(diǎn)復(fù)制即可，在 ABAQUS 中將單元類型設(shè)置 C3D20，在網(wǎng)格編輯功能區(qū)選擇調(diào)整中間節(jié)點(diǎn)，將其中間節(jié)點(diǎn)調(diào)整為靠近裂紋尖端的 1/4 處，獲得 r^1/2 的奇異性，如圖 4 所示。

　　載荷、邊界條件與裂紋參數(shù)：載荷施加上述 4 種工況，載荷施加位置為單齒對(duì)嚙合時(shí)的最高點(diǎn)處，輪齒 2 個(gè)截面施加對(duì)稱邊界約束條件，約束內(nèi)表面 6 個(gè)自由度，q 為裂紋擴(kuò)展方向，a 為裂紋長(zhǎng)度，本文設(shè)定初始裂紋長(zhǎng)度為 0.2 mm，采用圍線積分法定義三維裂紋如圖 5 所示。

　　完成上述模型的建立，求解 2 種情形下的應(yīng)力強(qiáng)度因子：

　　(1) 初始裂紋長(zhǎng)度為0.2 mm 時(shí)，施加上述4 種載荷。

　　(2) 求解裂紋長(zhǎng)度為 0.2 mm、0.4 mm、0.6 mm、0.8 mm，施加工況 4 為載荷，求解應(yīng)力強(qiáng)度因子。

　　1.不同載荷對(duì) SIFs 的影響

　　當(dāng)初始裂紋長(zhǎng)度為 0.2 mm 時(shí)，施加工況 3 作為載荷得到 K1、K2 有無殘余應(yīng)力的變化規(guī)律，如圖 6 所示。

　　從圖 6a 中可以看出，輪齒齒根中部的應(yīng)力強(qiáng)度因子最大，考慮殘余應(yīng)力時(shí)最大值為 1679 MPa·mm^1/2 ，最小值為 179.2 MPa·mm^1/2 ，未考慮殘余應(yīng)力時(shí)最大值為 1598 MPa·mm^1/2 ，最小值為 91.96 MPa·mm^1/2 ，二者最大值相差 81 MPa·mm^1/2 ，最小值相差 87.24 MPa·mm^1/2 ，可以看出二者差值相差較大，且最大值均位于輪齒中部，輪齒兩端的應(yīng)力強(qiáng)度因子較小，且小端比大端小，即中間拉應(yīng)力大于輪齒兩端拉應(yīng)力，從而曲線為拱形，與上述裂紋擴(kuò)展結(jié)論相符合；圖 6b 中未施加殘余應(yīng)力的曲線逐漸增大，呈線性分布，最大值為 148.7 MPa·mm^1/2 ，最小值為-180.8 MPa·mm^1/2 ，考慮殘余應(yīng)力時(shí)，最大值為 133 MPa·mm^1/2 ，最小值為-153.4 MPa·mm^1/2 。從兩圖中可以得到，當(dāng)初始裂紋長(zhǎng)度相同時(shí)，齒面齒根部位殘余應(yīng)力主要表現(xiàn)為“外壓內(nèi)拉”，而齒芯部位主要表現(xiàn)為內(nèi)部拉應(yīng)力，裂紋受到兩種不同情形的應(yīng)力，且兩種應(yīng)力分布并非絕對(duì)，故殘余應(yīng)力對(duì)于齒根裂紋擴(kuò)展有兩種影響，即裂紋前緣節(jié)點(diǎn)受殘余壓應(yīng)力時(shí)，抑制裂紋擴(kuò)展，裂紋前緣節(jié)點(diǎn)受殘余拉應(yīng)力時(shí)，促進(jìn)齒根裂紋擴(kuò)展。由圖可知，K1 遠(yuǎn)大于 K2，且 K2 的最大值為 K1 最大值的 8% ，所以，對(duì)裂紋擴(kuò)展起決定性作用的是 K1 ，故弧齒錐齒輪裂紋擴(kuò)展以張開型為主。

　　為得到不同載荷作用下 K1 的變化規(guī)律，施加其余 3 種工況，得到圖 7a 中 K1 的分布，可知，無論載荷如何變化，K1 的最大值總位于齒根中部，且裂紋前緣應(yīng)力強(qiáng)度因子隨著載荷的增大而增大，但曲線變化趨勢(shì)相同，考慮殘余應(yīng)力時(shí)，應(yīng)力強(qiáng)度因子也隨之增大，曲線保持中間大，兩頭小的變化規(guī)律。

　　圖 7b ～ 圖 7d 為輪齒大端節(jié)點(diǎn)、中間節(jié)點(diǎn)、小端節(jié)點(diǎn)隨載荷的變化規(guī)律。考慮殘余應(yīng)力時(shí)，大端節(jié)點(diǎn)應(yīng)力強(qiáng)度因子最大值為 768.4 MPa·mm^1/2 ，小端最大值為 179.2 MPa·mm^1/2 ，大端為小端的 4.29 倍；3 個(gè)節(jié)點(diǎn)的 K1 曲線變化平穩(wěn)。這表明，隨著載荷增大，裂紋先沿齒面朝輪齒兩端擴(kuò)展，輪齒中間節(jié)點(diǎn)擴(kuò)展速率最大，且裂紋在靠近大端沿齒面的擴(kuò)展速率大于小端的擴(kuò)展速率。

　　2.不同裂紋長(zhǎng)度對(duì) K1 的影響

　　為研究不同裂紋長(zhǎng)度下殘余應(yīng)力對(duì)裂紋擴(kuò)展的影響規(guī)律，施加工況 4 的載荷，研究裂紋長(zhǎng)度為 0.2 mm、 0.4 mm、0.6 mm、0.8 mm 時(shí) K1 的變化規(guī)律。

　　圖 8 為不同裂紋長(zhǎng)度下有無殘余應(yīng)力時(shí) K1 的變化曲線。隨著裂紋長(zhǎng)度的增加，曲線仍保持中間大兩頭小的變化規(guī)律。考慮殘余應(yīng)力時(shí)，曲線峰值增幅較大，表明裂紋沿著深度的擴(kuò)展速率隨著裂紋長(zhǎng)度的增大而增大。

　　圖 9a ～ 圖 9c 為輪齒大端節(jié)點(diǎn)、中間節(jié)點(diǎn)、小端節(jié)點(diǎn)隨裂紋長(zhǎng)度的變化曲線。

　　可以看到，中間節(jié)點(diǎn)與大端節(jié)點(diǎn)曲線呈線性變化;由于輪齒大、小端齒面載荷分布不均勻，大端承受載荷較大，隨著裂紋長(zhǎng)度的增加，小端節(jié)點(diǎn)先增大，后下降，考慮殘余應(yīng)力時(shí)小端應(yīng)力強(qiáng)度因子的最大值是未考慮殘余應(yīng)力時(shí)的 1.92 倍，這表明，殘余拉應(yīng)力對(duì)輪齒基體裂紋擴(kuò)展起促進(jìn)作用，裂紋沿深度方向穩(wěn)定擴(kuò)展;弧齒錐齒輪大端齒厚大于小端齒厚，且裂紋在靠近輪齒大端沿深度的擴(kuò)展速率大于小端的擴(kuò)展速率，這有利于延長(zhǎng)輪齒完全斷裂失效時(shí)間，提高齒輪疲勞壽命。

　　三、結(jié)論

　　本文在已有研究成果的基礎(chǔ)上，基于 XFEM 模擬了弧齒錐齒輪裂紋擴(kuò)展路徑，同時(shí)，探討不同參數(shù)下淬火殘余應(yīng)力對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子的影響規(guī)律，得出以下結(jié)論：

　　(1) 裂紋萌生在齒根中部，先沿齒面擴(kuò)展，在沿深度擴(kuò)展，隨著載荷的增大，逐漸朝輪緣擴(kuò)展，且裂紋沿齒面的擴(kuò)展速率大于沿深度的擴(kuò)展速率。

　　(2) 考慮殘余應(yīng)力時(shí)，K1 值隨著載荷的增大而增大，但不改變裂紋原有的擴(kuò)展趨勢(shì);裂紋沿深度的擴(kuò)展速率隨著裂紋長(zhǎng)度的增大而增大;裂紋在靠近輪齒大端的擴(kuò)展速率總是大于小端的擴(kuò)展速率。

　　參考文獻(xiàn)略.